Теорія ігор

Теорія ігор – теоретичний напрям у науці, сукупність методів математичного аналізу та оцінки правил поведінки учасників конфліктної ситуації, яка передбачає взаємодію двох або кількох учасників (гравців) для досягнення кожним своєї мети. Рівень досягнення мети гравцем – кінцевий результат його участі в грі – залежить як від випадковостей, так і від кмітливості й майстерності гравців, де кожен хоче отримати якнайбільшу вигоду. Результат гри частково контролюють і учасники.

Конфліктні ситуації, в яких застосовують теорія ігор, існують у класичних іграх (шахи, покер та ін.) і в економіці, біологи, геологи, політиці, військовій справі та ін. Кількість учасників гри або кількість груп, інтересів у ній – одне з основних понять теорії ігор. Ігри двох гравців посідають центральне місце в теорії ігор. Їх ще називають іграми двох гравців з нульовою сумою: один виграє стільки, скільки програє другий. До таких ігор належать ігри двох гравців із заданою сумою.

Завдання кожного з конкурентів – забрати з цієї суми якомога більшу частку. Всі інші ігри мають більше учасників, вони можуть вступати у коаліції дій, множину яких позначають літерою «R». Кожна дія коаліції у грі – стратегія. Це поняття є центральним в теорії ігор. Стратегія гравця – перелік усіх дій, які він застосовує у кожному випадку, що виникає під час гри внаслідок ходу конкурента, свого ходу чи випадково. За будь-яких обставин стратегія визначає хід, який повинен зробити гравець. Ще одне поняття теорії ігор – функція виграшу Нк, що фактично є правилом визначення очікуваного виграшу одним із гравців у разі вибору ним будь-якої стратеги з множини можливих. Для коаліції К множину всіх стратегій позначають Sк. Вибір кожним учасником гри власної стратегії створює ситуації, множину яких позначають S. Зацікавленість результатами гри формує серед учасників коаліцію інтересів, множину яких позначають Кі. Перевагу ситуації S' над ситуацією S'' для коаліції К записують, як: S'>KS'. Тобто Нк(S')>Нк(S''). Перелік усіх коаліцій дій, множина їх стратегій і ситуацій, коаліцій інтересів визначають гру. Будь-яка гра має не менш як дві коаліції інтересів. За скінченності множини S1 і S2 (гра двох гравців) нормальна форма гри може бути записана у вигляді матриці A=(aij), де елементи стрічок стратеги першого гравця, а елементи стовпчиків – стратеги другого. Елементи aij матриці А є платою другого гравця першому в разі вибору першим — i-ї стрічки, а другим гравцем j-го стовпчика. При цьому перший гравець вибирає стрічку з метою максимізувати плату (свій виграш), а другий – мінімізувати плату (свій програш). Таку гру називають матричною. Оптимальним розв'язком її є сідлова точка, тобто елемент akl матриці А, який задовольняє умову ail?arl?arj для будь-яких i та j. У більшості матричних ігор немає сідлових точок, тобто не виконується умова: maxi minо aij = minj maxi aij. У такому випадку використовують змішані стратеги, які є схемою випадкового вибору чистих стратегій. За існування сідлової точки дві стратеги, які приводять до неї, називають оптимальними. Можлива наявність обмеження на допустимі змішані стратегії (гра з обмеженнями). Нескінченні ігри використовують нескінченні множини чистих стратегій. Багатокрокові ігри задають на повному наборі інтервалів, кожний з яких є кроком гри. У такому разі обидва гравці володіють повною інформацією. Особливістю стохастичних ігор є те, що на кожному кроці існує позитивна ймовірність зупинки і незалежно від обраної стратегії ймовірність того, що через її років гра триватиме не більше від Sn (де Sn – наперед задана менша одиниці величина). У рекурсивних іграх імовірність закінчення гри на фіксованому кроці може бути нульовою. Багатокрокові ігри з неперервним часом, у яких перехід від одного стану до іншого описується диференціальними рівняннями, називають диференціальними іграми. В іграх з двома гравцями з нульовою сумою інтереси учасників не завжди протилежні, що може бути вигідно обом за умови узгоджених дій. Якщо в таких іграх допускаються обміни інформацією, спільні стратеги, побічні платежі, угоди, їх називають кооперативними, за категоричної заборони такої взаємодії – некооперативними. За наявності у грі лише однієї коаліції дії та припущення, що множина ситуацій збігається з множиною стратегій, ігри називають нестратегічними. Якщо множини коаліцій дії і коаліцій інтересів збігаються, обидва види коаліцій визначають гравці. Вироблення рішення в теорії ігор полягає у виборі коаліції дії чи стратеги гравцем, тобто у виборі елемента з певної множини. У динамічних іграх вибір стратегії здійснюється протягом певного часу і використовує методи з теорії ймовірностей, функціонального аналізу, диференціальних та інтегральних рівнянь. Екстремальні методи передбачають дослідження гри на основі багаторазового відтворення гри людьми (ділові ігри) чи за допомогою цифрового моделювання на комп'ютері (ігри автоматів). Розв'язок ігор можливий поки що лише для досить вузьких їх класів. В окремих випадках розв'язок описують за допомогою формул, а здебільшого – у вигляді алгоритмів. Теорія ігор як математична дисципліна виникла водночас з теорією ймовірностей у середині XVII ст. Поштовхом до нових розробок у цій галузі стали праці «До теорії стратегічних Ігор» Дж. Неймана (1928), «Теорія ігор і економічна поведінка» Дж. Неймана і О. Моргенштерна (1944), в яких наведено економічні приклади і описано конфліктні ситуації. Теорія ігор від початку була спрямована на розв'язування завдань прийняття рішення в конкурентній економіці. Під час Другої світової війни теорію ігор було застосовано для аналізу військових стратегій. Нині сфера її застосування істотно розширилася, охопивши й соціальні науки.

Джерело:

Економічна енциклопедія: У трьох томах. Т. 1. / Редкол.: …С. В. Мочерний (відп. ред.) та ін. – К.: Видавничий центр “Академія”, 2000. – 864 с.