Закон великих чисел

Закон великих чисел – у математичному значенні – закон теорії ймовірності, сформульованої у формі теорем Бернуллі, Пуассона і Чебишева з їхніми узагальненнями. Закон великих чисел встановлює стійкість середніх характеристик великої кількості дослідів, тобто наближених характеристик до деяких сталих величин. Названі теореми набули широкого застосування, започаткувавши один із центральних розділів теорії імовірності – граничного розподілу, а також стали одним із розділів математичної статистики.

Водночас закон великих чисел у практичних дослідженнях набув закону статистики, є основою для розв'язку такої задачі за спостережуваними у реальності наслідками або подіями (явищами) знайти закони і причини цих подій. Оскільки кожна подія має свою причину, тобто породжена дією постійних і водночас випадкових причин, то закон виявляється «у формі випадковості», тобто у вигляді хаотичного коливного (розсіяного) ряду чисел. Відкриття такого закону можливе лише на основі розгляду відповідних йому подій у сукупності й обчисленні масових або середніх спостережень по них при використанні великих чисел. Однак аналіз подій у сукупності, обсяг яких завжди обмежений, дає можливість знаходити масові властивості та масові закономірності, які лише за певних умов і до того ж наближено можуть стати вираженням законів цих подій. Тобто оскільки на практиці число спроб при проведенні спостережень скінченне, то статистична величина неточно відображає закон цих подій, вона неминуче супроводжується випадковою похибкою, можливо, величина її може бути обчислена за допомогою методів теорії імовірності. Слід врахувати, що за однакового числа спостережень закономірність даних подій тим точніша, чим менша його розсіяність (дисперсія) тобто закономірність одиноких подій відображається менш точно, ніж масових (частіших) подій. Отже, за поодинокими подіями, як і за подіями з великою дисперсією, потрібно проводити велику кількість спостережень. Будь-який статистичний ряд – це коливний ряд чисел, і закон подій виражається у вигляді тенденції, що проходить між коливаннями цих чисел. Чим більше число однорідних спостережень, тим більш вираженим буде цей ряд чисел і тим точнішого виразу набуде тенденція. Збільшуючи число таких спостережень і переходячи до границі, можна отримати вираз тенденції без випадкових коливань, тобто вираз закону, що лежить в основі даної події і має назву емпіричного закону. Таку тенденцію можна математично описати функцією, наприклад, поліномом другого ступеня у(х)=ах²+вх+с, в якому сталі а, в, с – середні величини, а функція у набуватиме середнього значення (у) при різних значеннях аргументу х ( 0, 1, n). Середні значення (у) наближено виражатимуть задану тенденцію. Закон великих чисел широко застосовують в економіці, техніці та інших галузях знань. Зокрема, він є основою відомого правила, яким користуються експериментатори для оцінки невідомої величини слід взяти середнє арифметичне великого числа результатів її вимірювань. Закон великих чисел економічній статистиці зумовлює взаємо-погашення випадкових індивідуальних відхилень рівнів масових однорідних соціально-економічних явищ і процесів від середньої їх величини, в якій за достатньо великої кількості одиниць виявляється закономірність. Отже, закон великих чисел пов'язує точність статистичних висновків про закони подій (явищ) із числом, яке покладено в основу їх спостережень.

Джерело:

Економічна енциклопедія: У трьох томах. Т. 1. / Редкол.: …С. В. Мочерний (відп. ред.) та ін. – К.: Видавничий центр “Академія”, 2000. – 864 с.